在现代工程和科学计算中，非线性优化问题无处不在。从机器人定位、三维重建到机器学习模型训练，许多任务最终都归结为求解一个复杂的最小二乘问题。Ceres Solver 是由 Google 开发并开源的 C++ 库，专为解决大规模非线性最小二乘问题而设计，以其高效、灵活和稳定性著称。本文将深入介绍如何在 C++ 项目中集成并使用 Ceres Solver 进行实际优化任务。

Ceres Solver 的核心思想是将优化问题表达为残差函数的平方和最小化。其典型形式为：

$$
\min{x} \sumi \rhoi(\|fi(x)\|^2)
$$

其中 $ fi(x) $ 是残差项，$ x $ 是待优化的参数向量，$ \rhoi $ 是可选的鲁棒核函数。这种建模方式非常适合处理含有噪声或异常值的实际数据。

要开始使用 Ceres，首先需要安装库。可以通过源码编译或包管理器（如 vcpkg、conan）安装。以 Ubuntu 为例，可通过以下命令安装依赖并构建：

bash sudo apt-get install libeigen3-dev libsuitesparse-dev git clone https://github.com/ceres-solver/ceres-solver.git cd ceres-solver && mkdir build && cd build cmake .. make -j8 && sudo make install

安装完成后，在 CMake 项目中引入 Ceres 非常简单。只需在 CMakeLists.txt 中添加：

cmake find_package(Ceres REQUIRED) target_link_libraries(your_app ${CERES_LIBRARIES}) target_include_directories(your_app PRIVATE ${CERES_INCLUDE_DIRS})

接下来我们通过一个经典例子——曲线拟合，来展示 Ceres 的使用流程。假设我们有一组观测数据点 $(ti, yi)$，希望拟合形如 $ y = a \cdot e^{-b t} + c $ 的指数衰减模型。我们的目标是估计参数 $ a, b, c $。

首先定义残差结构体。Ceres 推荐使用“自动微分”方式，只需实现残差计算逻辑，导数由模板自动推导：

cpp
struct ExponentialResidual {
ExponentialResidual(double t, double y) : t(t), y(y) {}

template <typename T>
bool operator()(const T* const abc, T* residual) const {
    T a = abc[0], b = abc[1], c = abc[2];
    residual[0] = y_ - (a * exp(-b * T(t_)) + c);
    return true;
}

double t_, y_;

};

在主函数中，初始化数据并构建优化问题：

cpp
int main() {
// 模拟带噪声的数据
std::vector ts = {0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0};
std::vector ys = {5.0, 3.2, 2.1, 1.4, 1.0};

double abc[3] = {4.0, 0.5, 1.0};  // 初始猜测

ceres::Problem problem;

for (int i = 0; i < ts.size(); ++i) {
    ceres::CostFunction* cost_function =
        new ceres::AutoDiffCostFunction<ExponentialResidual, 1, 3>(
            new ExponentialResidual(ts[i], ys[i])
        );
    problem.AddResidualBlock(cost_function, nullptr, abc);
}

这里 AutoDiffCostFunction 的模板参数分别表示：残差维度（1）、参数块大小（3）。nullptr 表示不使用核函数，若存在离群点可替换为 new ceres::HuberLoss(1.0) 等鲁棒核。

配置求解器选项并执行优化：

cpp
ceres::Solver::Options options;
options.linearsolvertype = ceres::DENSEQR; options.minimizerprogresstostdout = true;

ceres::Solver::Summary summary;
ceres::Solve(options, &problem, &summary);

std::cout << summary.BriefReport() << "\n";
std::cout << "Estimated: a=" << abc[0] << ", b=" << abc[1] << ", c=" << abc[2] << "\n";

}

输出显示迭代过程及最终结果，通常几轮迭代即可收敛。Ceres 支持多种求解器（如 Levenberg-Marquardt、Dogleg）、稀疏矩阵加速（适用于大规模BA问题），以及对边界约束的支持（通过 SetParameterLowerBound 等方法）。

在实际应用中，Ceres 被广泛用于视觉SLAM中的Bundle Adjustment、IMU标定、位姿图优化等场景。其模块化设计允许用户灵活组合不同残差项，例如同时加入重投影误差、惯性残差和闭环约束。

总之，Ceres Solver 提供了一套简洁而强大的接口，使 C++ 开发者能够专注于问题建模而非底层算法实现。掌握其基本用法后，可以快速构建高性能的优化系统，显著提升工程项目的精度与鲁棒性。